Números
Podemos decir que la noción de número nació con el hombre. El hombre primitivo tenía la idea de número natural y a partir de allí, a lo largo de muchos siglos e intenso trabajo se ha llegado al desarrollo que actualmente posee el conjunto de número. Con los números expresamos cantidades y también medidas pudiendo además operar con ellos.A lo largo del año y de otros cursos veremos distintos conjuntos numéricos y las operaciones que en ellos se pueden realizar, como también propiedades, las cuales nos dan métodos que permiten que nuestros cálculos sean eficaces.
1.1 NÚMEROS NATURALES
Recordemos que el conjunto de los números naturales N está constituído por los números 1, 2, 3, 4,...100,..,n.... con los cuales contamos, ordenamos y realizamos las operaciones de suma y multiplicación, siendo el resultado de estas operaciones también un número natural, sin embargo no ocurre lo mismo con la resta y con la división.
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El conjunto de los números naturales N tiene las siguientes características:
- Es un conjunto infinito.
- Tiene primer elemento, no tiene último elemento.
- Todo número natural tiene un sucesor, es decir, cada número natural, tiene un consecutivo
- Todo número natural, salvo el uno, tiene antecesor.
- Entre dos números naturales consecutivos, no existe otro número natural, por eso se dice que el conjunto es discreto.
Por ser un conjunto ordenado, es posible representar a los números naturales en una recta, eligiendo como origen el cero ( que puede ser incluido en el conjunto) y una unidad de medida arbitraria, como vemos en la figura
1.1.2 Números primos y compuestos
1.1.2.1 Máximo común divisor
1.1.2.2 Mínimo común múltiplo
1.1.3 División exacta
1.2 NÚMEROS ENTEROS
Recordemos que la resta en el conjunto de los números naturales no siempre es posible, es necesario, por lo tanto, ampliar nuestro campo numérico introduciendo el cero y los opuestos de los números naturales, llamados números enteros negativos.
Tenemos así el conjunto de los números enteros:
Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Los números enteros pueden representarse en la recta numérica como sigue:
Números opuestos
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Para tener en cuenta:
Si x es un número entero -x debe interpretarse como el opuesto de x.
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Cada número entero positivo tiene un opuesto, que es un número negativo y viceversa.
El opuesto de 5 es -5. El opuesto de -7 es 7.
..................................................................
Comparaciones interesantes:
- Los enteros positivos se representan a la derecha del 0 y los negativos, a la izquierda.
- Un número y su opuesto están a la misma distancia del 0.
- Si un número es mayor que otro, está ubicado más a la derecha en la recta numérica.
Ejemplos:
0 es mayor que -2 ( en símbolos 0 > -2 )
0 es mayor que -2 ( en símbolos 0 > -2 )
-5 es menor que -4, o sea -5 < -4
-1 > -3 ( -1 es mayor que -3)
-4 < -3, o sea -4 es menor que -3.
Actividad N°1
Escribe cada cantidad mediante un número positivo o negativo, según corresponda:
a) Saldo en rojo (deudor) de $235 en la cuenta bancaria.
b) Vuela a 670 m de altura.
c) Ganancia de la empresa: $ 128.700.
d) Finalizó con 7 puntos en contra.
e) Nació en el año 341 antes de Cristo.
Actividad N°2
Representa en una recta numérica lo que se indica
a) El cero, los números -3, 2 y -4 y sus opuestos
b) Dos números enteros mayores que -6 que estén a la misma distancia del 0, y que no sea ninguno de los que marcaste en el ítem anterior.
c)¿Podés señalar otros dos números que cumplan la condición del ítem b)?
Actividad N°3
¿Qué temperatura se encuentra a la misma distancia del cero que 5°C?
Actividad N°4
El buzo A está a -18 m y su compañero B a -15 m. ¿Quién se halla más cerca de la superficie?
Actividad N°5
Rodéa el que se encuentra más lejos de la planta baja del edificio.
2° piso 3° subsuelo
Actividad N°6
Completa con "cerca" o "lejos". Podés ayudarte con la recta numérica.
a) De dos números positivos, el mayor es el que está más............del 0.
b) De dos número negativos, el mayor es el que está más.............del 0.
Actividad N°7
Escriba el número entero que corresponda a cada caso.
a) El opuesto de +9
b) El anterior de -5
c) El siguiente de -2
d) El opuesto de 7
e) El opuesto de -7
f) El opuesto del opuesto de -7
Actividad N°8
Un carpintero de la antigua Roma nació en el año 185 a.C. y murió en el año -140. Su hermano nació en -190 y murió en -145.
a) Dibuja un esquema usando un color para el carpintero y otro diferente para el hermano.
b) ¿Quién nació antes? c) ¿Cuál falleció después?
Actividad N°9
Escribe < o >, según corresponda
a) -7...... -8 c) 0..... -6 e) -45 ........ -46 g) -100..... -99
b) -1...... -9 d) -5.... 0 f) -2 .......... -1 h) -(+5).... -4
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La distancia desde un número hasta 0 sobre la recta numérica se denomina módulo o valor absoluto de ese número.
El módulo de 3 es 3. El módulo de -4 es 4.
Para indicar el módulo o valor absoluto de un número se lo escribe entre dos barritas verticales.
Escribe cada cantidad mediante un número positivo o negativo, según corresponda:
a) Saldo en rojo (deudor) de $235 en la cuenta bancaria.
b) Vuela a 670 m de altura.
c) Ganancia de la empresa: $ 128.700.
d) Finalizó con 7 puntos en contra.
e) Nació en el año 341 antes de Cristo.
Actividad N°2
Representa en una recta numérica lo que se indica
a) El cero, los números -3, 2 y -4 y sus opuestos
b) Dos números enteros mayores que -6 que estén a la misma distancia del 0, y que no sea ninguno de los que marcaste en el ítem anterior.
c)¿Podés señalar otros dos números que cumplan la condición del ítem b)?
Actividad N°3
¿Qué temperatura se encuentra a la misma distancia del cero que 5°C?
Actividad N°4
El buzo A está a -18 m y su compañero B a -15 m. ¿Quién se halla más cerca de la superficie?
Actividad N°5
Rodéa el que se encuentra más lejos de la planta baja del edificio.
2° piso 3° subsuelo
Actividad N°6
Completa con "cerca" o "lejos". Podés ayudarte con la recta numérica.
a) De dos números positivos, el mayor es el que está más............del 0.
b) De dos número negativos, el mayor es el que está más.............del 0.
Actividad N°7
Escriba el número entero que corresponda a cada caso.
a) El opuesto de +9
b) El anterior de -5
c) El siguiente de -2
d) El opuesto de 7
e) El opuesto de -7
f) El opuesto del opuesto de -7
Actividad N°8
Un carpintero de la antigua Roma nació en el año 185 a.C. y murió en el año -140. Su hermano nació en -190 y murió en -145.
a) Dibuja un esquema usando un color para el carpintero y otro diferente para el hermano.
b) ¿Quién nació antes? c) ¿Cuál falleció después?
Actividad N°9
Escribe < o >, según corresponda
a) -7...... -8 c) 0..... -6 e) -45 ........ -46 g) -100..... -99
b) -1...... -9 d) -5.... 0 f) -2 .......... -1 h) -(+5).... -4
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Módulo o valor absoluto
Distancia hasta ceroLa distancia desde un número hasta 0 sobre la recta numérica se denomina módulo o valor absoluto de ese número.
El módulo de 3 es 3. El módulo de -4 es 4.
Para indicar el módulo o valor absoluto de un número se lo escribe entre dos barritas verticales.
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Actividad N °10
Completa
a) Hallar el opuesto y el valor absoluto de ( -12 )
opuesto = ......................
valor absoluto = ...........
b) Distancia desde -10 hasta 0:
c)valor absoluto de -8:
d) /-6/ = g) /-1/ =
e) / 8/= h) /-9/ = / .../
f) /0/= i) /2/ = /...../
Actividad N°11
Completa con <, > o =, según corresponda:
a) /-9/..... 0 d) /-5/ ..... -5
b) /-7/..... /+7/ e) 6 ....... /-6/
c) 0 ....... /-28/ f ) /-16/ ..... 0
Actividad N°12
Entre un número entero negativo y su módulo hay cinco números enteros. ¿Cuál es ese número negativos? Escríbelo. Podés ayudarte con una recta numérica.
Actividad N°13
a) Escribe cinco números enteros negativos consecutivos cuyos módulos sean mayores que 84.
b) Representa en la recta numérica todos los enteros cuyos valores absolutos son menores o iguales que 4.
Actividad N°14
Piense dos números enteros diferentes, pero con igual módulo; tienen dos cifras y son mayores que -11. ¿Cuáles son los números que pensé?
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SUMAS Y RESTAS CON ENTEROS
SUMAS Y RESTAS CON ENTEROS
Realiza los siguientes ejercicios.
Obtiene un sólo signo en cada témino y luego aplica la regla para sumar números enteros.
a) 8 + (-1) + (-7) - (-8) - (+6)= b) - (-7) + 6 -(-8) + (-4)=
c) -7 +7 - 9 - (-9) + (- 8) - 12 = d) - 8 - (-14) - (-29) + 8 -12=
La multiplicación y división de
números enteros
La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
+ · + = +
− · − = +
+ · − = −
− · + = −
Ejemplos:
1)+2.(-4)=-8
2)-6.(+6)=-36
3) -7.(-5)=+35
4)+2.(+7)=+14
Repasa las propiedades de las operaciones: suma, resta, multiplicación y división.
 Propiedades interesantes
Ejercicios de integración
Resuelve los siguientes cálculos. A cada resultado le corresponde y una letra, tal como se indica en las claves siguientes.
Transporta las letras a la grilla, según el número de cálculo que en ella se indica y podrás escribir y leer un pensamiento y el nombre de su autor.
1) -2 .(+4)-(-16):(-8)= 2)-6+(-2).(-1)-(-9):(-3)=
3)2.(-4).(-2)-(-6)+(-1)= 4)-100:(+25)-(-2).(+9)+(-8)=
5)[-4:(-2)-(+5)]:(+3) +8)= 6)-36:(-6):(+2) -(-4):(+2)= 7)-80+ (-50):(+25)+(+10).(+5)= 8)14-24:3+6.2-3.5= 9)18:(-3)-(-8) +(-9):(-3)= 10)-24:(-8)-10:2-(-5).(-2)= 11)[-2+ (-6)-(-9)].(-15)-(-9):(-3)= 12)-1+(-3)-(-6)-(+4)+(-9)-(-8)+(-1)= 13)-(-2)+[-(-2)+(-5)]- (+1)= 14)-[-2+.(-4)]+(-2).(-1)= 15)[2+6-9-(-8).(-2):(-1)]:(-3)= 16)-10:(-5)+(-7).(+2)-(-18):(-9)= 17)-1.(+3)-[-6:(-3)+(-5)].(+2)= 18)[-(-2)-(+6)-(-9)-(+15)].(-3)= 19)[4:(-2):(-1)][-6:(-3)]+(-5)= 20)[-(-6)-(-2)+(-5)] (-2)+(-1)-(-4)=
Grilla de resultado= letra del abecedario
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